用simpson公式求积分计算题及答案,用simpson公式求积分例题

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1. simpson定理的证明？
2. 微积分先驱数学家的贡献
3. 什么是辛普森法则？

simpson定理的证明？

Simpson定理是一种用于数值积分的方法，它可以通过将函数曲线上的区间分成若干等分来计算积分。

该定理的证明依赖于泰勒公式和数学归纳法，通过对区间逐步进行二次插值来得出积分的近似值。简单来说，Simpson定理利用了函数的曲线形状来估算积分值，是一种常用的数值积分方法。

Simpson定理的证明方法为：

设s(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D，根据定积分的几何意义，设在区间(a,b)上f(x)≥0，则有：

A=(b-a)f(a+b/2)

B=(b-a)^2f(a+b/2)/2-(b-a)^2f(a+b/4)/4

C=(b-a)^3f(a+b/2)/6-(b-a)^3f(a+b/4)/4+(b-a)^3f(a+3b/4)/4-(b-a)^3f(b)/4

D=(b-a)^4f(a+b/2)/3-(b-a)^4f(a+b/4)/12+(b-a)^4f(a+3b/4)/12-(b-a)^4f(b)/12

则有：

V=A(b^3-a^3)+B(b^2-a^2)+C(b-a)+D

化简后得：V=A(b^3-a^3)+B(b^2-a^2)+C(b-a)+D=(b-a)(Ab^2+Bb+C)/6。

由于f(x)=s(x)，因此：

辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。

微积分先驱数学家的贡献

特别值得指出的是，微积分中的麦克劳林（Maclaurin)定理早在麦克劳林发表之前，斯特林在1717年对代数的研究以及1730年在他的《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了这个定理；微积分学中的近似积分公式——辛普森（Simpson）公式，在辛普森发表之前，斯特林早就得到了这个公式以及一些更高阶的近似积分公式。

他还引入了以他的姓氏命名的级数；阐述了使级数快速收敛的求和方法；研究了级数的插值。

什么是辛普森法则？

辛普森法则（Simpson's rule）是一种数值积分方法，用于近似计算曲线下的面积或函数的定积分。它通过将曲线划分为多个小区间，然后利用多项式插值来逼近每个小区间上函数的曲线，并计算这些小区间上的面积之和来近似总面积或定积分的值。

辛普森法则的基本思想是用一个二次多项式来近似曲线的形状。具体步骤如下：

1. 将曲线划分为 n 个等间距的小区间（n 通常为偶数），每个小区间的宽度为 h。

2. 在每个小区间内，用一个二次多项式来逼近曲线，通常使用三个点作为插值节点，即使用每个小区间的两个端点和中点来构建一个二次多项式。

3. 对每个小区间应用辛普森公式进行积分，即将每个小区间的面积近似为一个梯形和一个小矩形的面积。

4. 将所有小区间的面积之和作为对总面积或定积分的近似值。

辛普森法则相较于矩形法则（如矩形法则和梯形法则）更准确，因为它使用了二次多项式进行插值，可以更好地逼近函数的曲线形状。然而，辛普森法则还是一个近似方法，其精确度取决于小区间的数量和函数的光滑性。如果小区间数量较大或函数较平滑，则辛普森法则的结果将更接近真实值。

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